Czym są liczby złocone?
Metoda ©-Rasz pozwala precyzyjnie dobierać wartości, nazwane przeze mnie odźwierną, oraz dominiką, dzięki którym budujemy kolejne ciągi Dirichleta tak, by z jednej strony utrzymać ich wysoką wydajność, a z drugiej – nie zgubić po drodze żadnej „klasy” liczb pierwszych. Każda taka klasa – wyrasta na kolejnej „gałęzi” naszego drzewa. Powstająca, drzewiasta struktura – będzie się wciąż rozgałęziać w miarę jak następuje „rozpoznawanie i odrzucanie” takich ciągów, które mogą produkować jedynie liczby złożone, tak jak to pokazaliśmy w przykładzie, dla liczby 5 (patrz Wzór 5).
Przeprowadźmy to podobnie dla liczby 7 - podstawowy ciąg miał postać
7bn= 7+n*(2*3) - (Wzór 2.1) zaś my „rozłożyliśmy” go, w sposób zupełny, na 6+1 ciągów, z których interesowało nas tylko 6, z odźwiernymi o wartościach 13; 19; 25; 31; 37 i 43, oraz dominiką = (2*3*7)
Pominęliśmy jeden ciąg! Jaki? Oto on:
7zn= 7+n*(2*3*7) - jak to można sprawdzić, ciąg ze wzoru 2,1 faktycznie rozkłada się w sposób zupełny na owe 6+1 ciągów. Lecz, co sprawdzić jeszcze łatwiej – ciąg ostatni będzie oczywiście „produkował” wyłącznie L. złożone: wszystkie będą podzielne (przynajmniej!) przez 7-kę… A ponieważ nas interesują wyłącznie L. pierwsze, dlatego owa „gałąź” – nie należy do naszego drzewa! Oznacza to, że pojawiające się na niej „liście” – nie są L. pierwszymi (co chyba jasne), lecz również nie są liczbami złoconymi ! Bowiem te ostatnie „kwitną” tylko i wyłącznie na prawidłowo „rosnącym” drzewie ©-Rasz, a nie na „gałęziach liczb złożonych”, których izolowaniu poświęciliśmy tyle uwagi… Powtórzmy to jeszcze raz:
.. Liczby złocone są elementami składowymi naszej struktury. ..
Jak się okazuje – nie można tych obiektów wyeliminować z drzewa ©-Rasz. Jest to, oczywiście, źródłem pewnych kłopotów, szczególnie gdy przejdziemy do liczb naprawdę dużych. Nieunikniona ich obecność wśród „wskazań” oznacza, że musimy sprawdzać każdą z otrzymanych wartości. Jednakże konstruując algorytmy do tego (weryfikacji) służące, warto kierować się pewnymi „oczekiwaniami o charakterze statystycznym”: w pierwszym rzędzie sprawdzamy podzielność przez te ze znalezionych wcześniej liczb pierwszych, które są w jak najdalszym stopniu „pokrewieństwa” z liczbą badaną. Zaczynamy, tak jak w innych metodach – od liczb najmniejszych. W przypadku bliższego „pokrewieństwa” – prawdopodobieństwo szybko maleje, szczególnie w przypadku liczb dużych. Natomiast nie ma oczywiście żadnej potrzeby sprawdzania podzielności przez odźwierną (chyba, że jest… złocona, wtedy powinniśmy sprawdzić podzielność przez jej składniki), lub którykolwiek ze elementów dominiki: nasza metoda gwarantuje nam, że wobec nich – uzyskiwane liczby będą zawsze względnie pierwsze…
Bardzo istotną sprawą dla użyteczności rzeszota będzie stosunek tak uzyskiwanych liczb pierwszych, do złoconych, czyli ich względna „frekwencja”. Sprawa ta wymaga badań, których – przyznam się – w jakimś znaczącym zakresie nie prowadziłem, bowiem podstawowym pytaniem jest wówczas to, jaki zakres należy uznać za „znaczący”? Przecież dla pewnych zastosowań może to być zbiór liczb np. ~30 cyfrowych, zaś dla innych – posiadających cyfr tysiące, lub… znacznie więcej!
Ponieważ postępująca rozbudowa drzewa ©-Rasz powoduje, iż coraz większa ilość liczb pierwszych, mniejszych od pierwiastka kw. z konkretnej wybranej pi - nie będzie się mieścić „w jej gałęzi” – to oczekiwać należy stałego spadku wydajności rzeszota, w miarę wzrostu pułapu wybranego dla p. Rysuje się wiele pytań z tym związanych; odpowiedź na nie wymaga nieco czasu.
Nie rozstrzygnąłem też kwestii, jak traktować te wielkości, które określiłem wcześniej jako liczby genetycznie złocone. Przypomnę: są one „produktem” złoconej odźwiernej, i powstają wtedy, gdy wielkość współczynnika okresu n wypada (osiąga wartość gdy jest...) podzielna przez dowolną z liczb pierwszych „składających się” na odźwierną. Im więcej takich „składników” – tym wydajność owej z.o. będzie mniejsza. „Mniejsza” – lecz nie zerowa! Dlatego też nie odrzucamy ich, jednakże powinny one doczekać się jakiegoś „specjalnego” podejścia. Jakiego? – nie mam pojęcia.
Drzewo ©-Rasz powinno być użytecznym narzędziem do oszacowań (górnych) gęstości L. pierwszych, oszacowań w niektórych wypadkach dokładniejszych niż funkcja x/ln(x), która asymptotycznie jest bliska wartości \pi(x). Jednakże sprawdza się to dobrze dopiero dla x b. dużych... Jeśli potrzebujemy tej gęstości dla zakresów małych – możemy to po prostu policzyć (dokładnie), dla b. dużych – użyć powyższej zależności z użyciem logarytmu. Natomiast wartości „pośrednie” – dość dobrze otaksujemy (przynajmniej „z góry”) dzięki drzewu ©-Rasz. Piszę „z góry” – bowiem wynik oczywiście będzie zawyżony o ilość liczb złoconych. Widać z tego, że badania ich względnej frekwencji staną się bardzo istotne!