Rzeszoto kanalikowe

Przedstawiona tu me= toda, choć odwołuję się w niej do kilku rezultatów, powszechnie znanych wcześniej, i uzyskanych przez innych, jest, j= ako całość – oryginalnym wynikiem mojej własnej pracy= . Dlatego też ja sam ponoszę odpowiedzialność za jakieś w ni= ej niedopatrzenia, błędy, czy też wszelakie inne ułomności. &nbs= p; W szczególności za= ś mnie, i tylko mnie obciążają ewentualne niedociągnięcia metodologiczne, oraz najróżniejsze uchybienia w terminologii. Proszę o wyrozumiałość! Równocześnie – za każdą kompetentną uwag&#= 281; czy choćby komentarze, pozwalające ulepszyć całość – bardzo będę wdzięczny.<= /i>

Autor

Rzeszoto kanalikowe,

©raszowanie liczb pierwszych,<= /span>

ich rozkład na czynniki̷= 0; złożone (sic!),

oraz: czy klasyfikacja L.p. ze względu

na wartość dominiki jest „naturalna”<= o:p>

R. B. Szulc

.

I – W= prowadzamy klasyfikację rRasz liczb pierwszych

Podstawą poniższej klasyfikacji będ= 1; reszty uzyskiwane z dzielenia każdej L.p. przez (odpowiednio wybrane) = inne liczby pierwsze (kongruencje).

Dla L.p większych od 2 mamy zawsze: mod(p;2)=3D1
Uwaga: Powszechnie przyjęty w matematyce = zapis powyższego wygląda tak:

p 1 = (mod 2)= - jednak dla uniknięcia kłopotów z elementami graficznymi będę się posługiwał zapisem „technicznym”, czyli podanym wcześniej...

Dla mod(p;3) mamy już= dwa wyniki: 1, oraz 2 – co oznacza, że uzyskujemy dwie klasy L. pierwszych, w zależności od ich podzielno= 47;ci przez 3. Każda z L.p. (dla p>3) musi si&= #281; znaleźć albo w jednej, albo w drugiej klasie.

I tak w szczególności do klasy drugiej (re= szta =3D 2) zaliczymy liczbę 5

   &nbs= p;        zaś do klasy pierwszej, dla której mod(p;3)= =3D1 należy lic= zba 7

Kolejne kroki klasyfikacji będziemy prowadzić= ; za chwilę dalej, teraz określimy pewną wartość. Będzie to wielkość przesunięcia, które nazwa = 2;em dominiką<= /i>: jest to wartość, jaką należy dodać, do już znalezionych L. pierwszych, aby otrzymać ko= lejne liczby, o takich samych kongruencjach.

Zdawałoby się, że w przypadku wyznaczan= ia klasy rRasz w oparciu o liczbę 3 – również i skok powinien wynosić 3, wszak w takim właśnie okresie pojawiają się identyczne reszty z dzielenia. A jednak – nie! Aby to uzasadnić, musimy wróci= ć do L. pierwszej wcześniejszej, czyli 2. Generuje ona liczby parzyste, wśród których jest jedyn&#= 261; liczbą pierwszą. Natomiast wzór na (bardziej nas interesujące) liczby nieparzyste wygląda następująco:
Wzór 1: a_n= =3D 1+n_*2

i tylko wśród l= iczb otrzymanych z takiego ciągu arytmetyczne= go ma sens poszukiwanie dalszych L. pierwszych! Gdy to uwzględnimy – po dodatkowym przekształceniu – otrzymu= jemy (następujące warunki dla kolejnych L. pierwsz= ych, ze względu na ich podzielność przez 3):

Wzór 2.2:   ⁵b_{n=3D
5+n_*=
(2_*3=
) oraz ⁷b_{n=3D
7+n_*(2_*3=
) - Wzór 2.1}}

II – Oto właśnie nasz kluczowa wartość: iloczyn, zamknięty powyżej w nawiasie (dominika), zawiera liczby pierwsze, odpowiedzialne za generowanie danego, konkretnego ciągu. Powrócimy do tego jeszcze.

III - Odźwierna<= /span>. Występujący na pierwszym miejscu każdego takiego wyraże= nia czynnik stały (w powyższych przykładach są to, odpowied= nio, liczby: 5, oraz 7) nazwałem odźw= ierną, jako że właśnie owa wartość „wprowadza” pozostałe l. pierwsze…

Proszę przyjrzeć się dokładnie przeprowadzonemu wyżej „pominięciu” (liczb parzystych= ), oraz jego konsekwencjom. W poniższej metodzie taki krok stanowi podstawę postępowania! Bowiem dalej będziemy poszukiwać L. pierwszych pośród liczb R= 22;nietroistych”, niepodzielnych przez 5, przez si= edem, etc…

Jak to wykazał Dirichlet (1837) – w ciągach tego typu (gdzie wielkości nazwane przeze mnie odź= ;wierną, oraz dominiką, są liczbami względnie pierwszymi, czyli nie maj= 1; wspólnych podzielników innych niż 1) – pojawia się nieskończenie wiele liczb pierwszych. Jednakże, co ważne! – nie wszyst= kie wyrazy ciągu to L.p. Do tego zagadnienia również jeszcze wrócimy.

Jak wiadomo: wszystkie L. pierwsze= , z wyjątkiem dwójki – są liczbami nieparzystymi. Ozna= cza to, że WSZYSTKIE (prócz 2) – są zawarte w ciągu określonym wzorem 1.

Uwag= a! (1) – w dalszych wywodach zastrzeżenia typu: z wyjątkiem 2, 3 lub „większe niż...” itd. – będą zazwyczaj pomijane. Mam nadzieję, że nie doprowadzi to do jakichś nieporozumień.

Czy będziemy poszukiwać = L. pierwszych za pomocą powyższych ciągów, rozwijając je w nieskończoność? Otóż wł= ;aśnie – nie! I jest to dosyć ważna konsekwencja przyjętej metodyki rzeszota…

Jak to spostrzegliśmy przy dzieleniu przez trójkę – liczby pierwsze mogą dać w wyniku jedy= nie dwie wartości: 1 lub 2. Od razu też po= kazane zostały najbliższe takie liczby: 5 i 7. I jak się okazu= je – dalej ciągnąć takiego szeregu „za trójką” (wg Wzoru 1) – nie ma potrzeby! Innymi słowy: wszystkie liczby pierwsze (większe od 7) znajdą si= 81; albo w jednym, albo w drugim z szeregów, podanych wzorami 2,1 – 2,2. O tym, w którym z nich – decyduje jedna wielkość= ;, określona operacją mod(p;3)…

Gdy już to ustaliliśmy, to nie powinno sprawić kłopotów spostrzeżenie, że mod(p;5) również ma ograniczoną ilość wyników. Jeśli otrzymamy 0 – to znak, = 80;e badana liczba – nie jest L. pierwszą,= to chyba zrozumiałe. Jednak jest prosty sposób, aby tego uniknąć. Mianowicie w szeregu:

Wzór 2.2:   ⁵b_n=3D 5+n_*(2_*3)

bierzemy dla n tylko warto&= #347;ci z przedziału <1;4> - zaś pisząc bardziej obrazowo: nie= do 4-ki, lecz od 1 do [5-1]. Zapewni nam to otrzymanie każdej z możl= iwych reszt, z dzielenia przez 5. Otrzymać możemy tu jedynie cztery wyn= iki: 1; 2; 3 oraz 4, i, jak się okazuje: w ten niezbyt rozbudowany sposób otrzymamy je WSZYSTKIE!

W tym momencie nie powinn= o nas zdziwić to, że otrzymywane wyrazy ciągu na pewno nie bę= dą się dzielić ani przez odźwi= erną, ani przez żaden ze składników, tworzących dominikę! Oczywiście: do tego właśnie zmierzaliśmy, jednakże= nie znaczy to, że ów wniosek narzuca się „sam z siebie”. Dlatego też uwypuklam to ponownie: Otrzymywane wyrazy ciągu „nie dzielą się” nie tylko przez dominikę, ale też przez ŻADEN ze składników iloczynu, dominikę tworzącego. Wobec tych liczb – otrzymywane wyrazy zawsze będą względnie pierwsze. Niestety, nie oznacza to, że dzielnikami nie będą liczby, które w danym wzorze = na konkretny ciąg – nie występują (a pojawią się jeszcze inne „kłopoty”)…

Podobnie postępujemy w przypadku siódemki: górny zakres dla n to [7-1] czyli liczba 6. Zaś pisząc ogólniej: dla dalszych, tak konstruowanych ciągów, dla każdej liczby p zawsze będzie to zakres od 1 do [p-1], lub też < 1; p )

Jeśli mamy określoną odźwierną to, jak wykazane zo= stanie później – zawsze możemy ustalić właściwą dla niej dominikę. Gdy odźwierną jest 5, to z odpowiedniego ciągu (Wzór 2.2) otrzymamy wy= niki: 11; 17; 23 oraz 29. Wi= dzimy, że faktycznie: są to L. pierwsze…= ;

Natomiast siódemka produkuje nam 6 liczb: 13; 19; 25;&nb= sp; 31; 37; 43 – z których jedna – okazuje się być L. złożon&#= 261;, jest bowiem potęgą 5-ki. Po chwili zastanowienia, dojdziemy do wniosku, że nie ma w tym nic zaskakującego! Wszak w naszym ci= 1;gu dla odźwiernej r&oacut= e;wnej 7, przypomnijmy wzór: ⁷b_n=3D 7+n_*(2_*3) - nie znalazł się żaden czynnik, który by stanowił jakiś restryktor dla pojawienia się, jako dzielnika, liczby pięć…

   &nbs= p;        Co więcej: jak się okazuje – nie ma prostego sposobu, aby tego uniknąć (w przypadku ogólnym, oczywi&#= 347;cie). Ja w każdym bądź razie niczego takiego nie znalazłem; ani prostego, ani nawet niczego zawiłego, co pozwoliłoby na wyeliminowanie w jednym ciągu – pojawiania się rozwiązań, które okazują się być podzielne przez inne liczby, w danej gałęzi = rRasz – nie występujące… Sądzę, że taki stan rzeczy należy po prostu… przyjąć do wiadomości!

Czymże jest owa „zbędna” liczba = 25? Zobaczmy:

Dla ²⁵b_n bierzemy n z przedziału <1;24> wtedy (Wzór 3): b =3D 25+n_*(2*3_*7)   generuje:

67; 109; 151; 193; 23= 5; 277; 319; 361; 4= 03; 445; 487; 529; 571; 613; 655; 697; 739; 781; 823; 865; 907; 949; 991; 1033 – Podzielmy je od razu na dwie grupy:

67; 109; 151; 193; 277; 487; 571; 613; 739; 823; 907; = 991; 1033 – (nieco ponad 54 %) to liczby pierwsze, zaś

235; 3= 19; 361; 403; 445; 529; 655; 697; 781; 865; 949 (czyli 11/24-tych) są złożone. Zauważmy, że aż 4 z nich są podzielne przez 5, czego przyczynę znaleźć dość łatwo: spójrzmy jeszcze raz na wzór 3 – wygeneruje on liczby podzielne przez piątkę zawsze, gdy przez ową liczbę będzie podziel= na wielkość n. W przedziale <1;24> są właśnie 4 takie liczby, i dlatego tyleż otrzymaliśmy wartości postaci ...xx5

Jestem pewien, że Matematyk uznałby, że jeśli aż w 45 % wypadków uzyskaliśmy „błędny wynik” – to odnieśliśmy porażkę. Jednak będąc chemikiem „wydajnoś= 63; 13/24-tych” uważam za… bardzo zadowalającą! Dlat= ego też liczbę 25 traktuję jako „niewiele gorszy od innych” substrat pozwalający „produkować L. pierwsze”… No cóż, my chemicy = musimy się bardzo często zadawalać wydajnością reakcji – niższą nawet kilkukrotnie!

Jak się okaże, z taką sytuacją będziemy mieli odtąd już do czynienia co krok: liczby wskazy= wane przez rzeszoto, jak już to sygnalizowane było wcześniej R= 11; nie zawsze są L. pierwszymi. Jednak są= one, pomimo to – generatorami dla dalszych liczb pierwszych, dlatego te= 80; nie odrzucamy ich (owych L. złożonych), bowiem spowodowałoby to niezupełność naszego rozkł= adu: rzeszoto stałoby się „nieszczelne”, i moglibyśmy zacząć gubić liczby pierwsze! A nawet całe ich klasy… Liczby takie (złożone<= /i> – jak w powyższym przykładzie liczba 25) wygenerowane przez prawidłowe i konsekwentne rozbudowanie rzeszota – nazwałem = liczbami złoconymi. Choć nie są tak cenne jak L. pierwsze – to jednak nie powinno się ich pomijać. Sądzę zresztą, że kiedyś okaże się, iż jako grupa posiadają jakieś ciekawe, niedostrzegalne dziś właściwości…

. . Proszę zapamiętać: cenne są i liczby złocone, chociaż złożone. .

Inne, kolejne liczby = złocone to: 25; 55; 77; 85; 119; 143; 145; 161; 187; 203... Zrozumiałe być powinno, że ich „produktywność” - np. wyrażona %-towo: ~ p/(<= span class=3DSpellE>p+z)<= span style=3D'mso-spacerun:yes'> - będzie zauważalnie niższa, niźli w przypadku L. pierwszych, bowiem dla każ= dej z odźwiernych, kt&oacu= te;re stanowią iloczyn&= nbsp; p₁_{*p₂_{* ... *}p_k=_<=
/span>otrzymamy
ciąg, który zawsze będzie nam generował liczby
złożone dla takich wartości n<=
/span> dla których przynajmniej je=
dna z
wymienionych wcześniej liczb (p₁ ; p₂ ; _...p_k_<=
/span>)
będzie dzielnikiem… Natomiast można zauważyć, =
80;e
owe przykładowe liczby (p₁ ; p₂ ; _...p_k_<=
/span>)
raczej nie powinny pojawić się w dominice.}

Wrócimy do liczb, których odźwierną jest 5-ka: 11; 17; = 23 oraz 29. Otóż znany już szereg (Wz&oac= ute;r 2.2):   ⁵bn=3D 5+n_*(2_{*3)
– rozkłada się, w sposób pełny,
na 4 następujące szeregi:}

(Wzór 4.1):   ¹¹b_{n<=
/sub>=3D
11+n_{*(2_*3_*5)&nbs=
p;
gdzie} n ε <1;10>}

(Wzór 4.2):   ¹⁷b_{n<=
/sub>=3D
17+n_{*(2_*3_*5)&nbs=
p;
gdzie} n є
<1;16>}

(Wzór 4.3):   ²³b_{n<=
/sub>=3D
23+n_{*(2_*3_*5)&nbs=
p;
gdzie} n є
<1;22>}

(Wzór 4.4):   ²⁹b_{n<=
/sub>=3D
29+n_{*(2_*3_*5)&nbs=
p;
gdzie} n є
<1;28>}

I tu, dla kontrastu, pokażmy wzór cią= gu, który odrzucamy:

(Wzór 5): ⁵z_n =3D 5+ n_*(2_*3_*5)&nbs= p; - bowiem, jak to wyraźnie widać, może on „produkować” wyłącznie takie liczby, które będą podzielne przez 5. Czyli: w tym szeregu nie pojawi się = ani jedna liczba pierwsza. A czemu napisałem, że „go odrzucamy”? Bowiem stanowi on dopełnienie ciągu ujętego wzorem 2,2 – czyli że wszystkie liczby (zarówno pierwsze,= jak i złożone, większe niż...), kt&oacu= te;re możemy otrzymać jako rozwiązania w szeregu 2,2 pojawi&#= 261; się „dokładnie w jednym” z szeregów uj= 81;tych wzorami: 4,1 lub 4,2 lub 4,3 lub 4,4 – albo też wzorem 5. Odrzucając ten ostatni – pozbywamy się niniejszym tych licz= b, które (w danej gałęzi rRasz!) = byłyby podzielne przez 5…

Rozkład ów oznacza, że WSZYSTKIE licz= by pierwsze, które (przypomnijmy) dają mod(p;3)=3D2 znajdą się w jednym z czterech powyższych ciągów – oczywiście ze zrozumiałymi zastrzeżeniami: 1) wszyst= kie wyższe niż…

oraz 2) gdybyśmy powy&= #380;sze ciągi rozwijali (o daną dominikę) w nieskończoność. Jednak, co już zapewne widać z przedstawionego dotąd schematu, zamiast w nieskończoność= ;, będziemy to robić taką tylko ilość razy, któ= ;ra zapewni nam kolejny pełny rozkład. Zapamiętajm= y:

Zasada rzeszota (1): dla każdej odźwiernej równej p, oraz prawidłowo dla niej wyznac= zonej dominiki, = musimy znaleźć jedynie (p-1) wyrazów ciągu, aby zapewnić sobie jej pełny= rozkład, a co za tym idzie: późniejsze odnalezienie WSZYSTKICH liczb pierwszych, w danej gałęzi = rRasz.

Gorąco zachęcam do przeanalizowania powyższego tym wszystkim, którzy chcieliby się metodą rzeszota posługiwać…

Czym jest dominika? Jeśli spostrzeżemy, że dla każdej (większej ni&= 0; 2 – tym razem) liczby pierwszej, jednoznacznie możemy wskazać= jej odźwierną, to jest chyba od razu zauważalne, iż, w takim razie, każda odźwierna (bez względu na to, cz= y jest L. pierwszą, czy złoconą) – ma swoją własną od&= #378;wierną, i tak „w dół” – aż do liczby 2. Dominika jest iloczynem tak znalezionych wskaźników, a przy tym swoistą kroniką, opisującą, w sposób skrócony, lecz całkowicie pewny coś, co można określić jako „historię powstania” każdej odźwiern= ej, i każdej liczby pierwszej (większej niż…)

Uważam, że jest to przejaw swoistego <= span style=3D'color:blue'>piękna, rządzącego tymi obiektami… Czyż to nie zaskakujące, że okazują się one występować niemal idealnie <= i>okresowo, można rzec: z regularnością metronomu?!

Jestem też przekonan= y, że przedstawiany niniejszym „rozkład liczb pierwszych, na czynniki… złożone (!!)” – jest, w pewien przekorny sposób, konstrukcj= 1; naturalną, i w pełni właściwą, oddającą „wewnętrzną strukturę” panującą wśród liczb pierwszych.

Dla uwypuklenia owej wewnętrznej struktury, oraz podkreślenia licznych pokrewieństw pomiędzy pozornie „samoistnymi” L. pierwszymi sądzę, że dominikę= ; powinno się zapisywać, w miarę możliwości (oraz, oczywiście: potrzeb!) – w postaci pe&= #322;nej, bez skrótów,

czyli: d= la 89 mamy b= =3D 29+2_*(2_*3_*5) nie zaś b=3D29+60… choć, oczywiście – zależeć to będzie od wydźwięku, w jakim chcemy przedstawić dany rozkład.

Możemy teraz pow= iedzieć, że: dla liczby 89 odźwierną= jest 29, zaś w jej „dominice zawiera się (lub: sk = 2;ada się ona z…) 2, 3 oraz 5 ”= . Albo też wymienić tylko pewną część tych składników, które mają, w danym kontekście, jakieś zdecydowanie większe znaczenie…

Być może i w przypadku liczb złoconych – też powinno się tak postępować, co ułatwi szybkie rozpoznawanie lic= zb złoconych genetycznie, czyli takic= h, które „odziedziczą skazę DNA” po swej ułomnej, złożonej odźw= iernej, i... przekażą ją (niestety) dalej. Oczywiście – tylko pewnej części swojego „potomstwa”, bowiem gdyby produkowały wyłącznie „śmieci” – to byśmy się nimi nie zajmowali, prawda?

   &nbs= p;        Warto też do przedstawionej klasyfikacji wprowadzić pojęcie = generacji liczby pierwszej. Będzie= to „stopień złożoności dominiki ” R= 11; czyli ilość czynników, dominik= ę tworzących. Np. dla liczby 89 mamy stopień =3D 3, bowiem jej dominik= a jest il= oczynem właśnie trzech liczb pierwszych, czyli L. 89 = jest „L. pierwszą trzeciej generacji (wg klasyfikacji rRasz)”... Pojęcie R= 22;generacji liczby pierwszej” mo= 80;e ułatwiać pewne poczynania związane z tymi obiektami – = zapewne więc będzie użyteczne.

Jak napisałem wcześniej, liczby pierwsze = 222;od zawsze” były obiektami „samoistnymi” i wydawały się wieść życie całkowicie niezależne od sieb= ie nawzajem. Z ich występowaniem, raczej… swaw= olnym – nie można było powiązać żadnej wyraźn= ej (prostej) reguły. Czasami pojawiają się dość gromadnie, czasem pojedynczo, innym razem – jako bliźniaki. Po c= zym następowała niezrozumiała przerwa… Trudno się było w tym połapać!

Jak się okazuje: liczby te „rodzą się” ściśle okresowo, a do tego są stworzonkami rodzinnymi, i to w stopniu wręcz… niesamowit= ym! Każda z nich posiada matkę (odźwierną ), oraz cały szereg „babć”. Ma też pokaźny zbiór sióstr, których ilość jest określona wielkością:

(= odźwierna - 1), oraz – jeszcze bardziej imponujące potomstwo: liczba p ma ( p -1 ) córek! <= span class=3DGramE>Zaś jeśli chodzi o wnuczki – no, to ju= ż po prostu trudno wręcz zliczyć… Jak to bywa w tak licznych rodzinach: nie do wszystkich można się przyznać, bowiem niektóre z sióstr, córek, a czasem i ktoś z przodków, o zgrozo! – nie są l= iczbami pierwszymi, a jedynie złoconymi…

   &nbs= p;        Im wyższa liczba pierwsza – w tym większej odległośc= i od niej znajdziemy jej „siostry”, natomiast córek – musimy szukać jeszcze dalej. W bliższym jej otoczeniu mogą się znaleźć – co najwyżej - jakieś dalsze kuzynki: im bliżej „mieszkają” – tym mniejsze je łączy pokrewieństwo…

Zaś w szczególności liczby bliźn= iacze – łączy pokrewieństwo NAJDALSZE z możliwych! Parę słów o ich wzajemnych relacjach tu: (► L. bliź= niacze – w budowie)

Warto może teraz zrobić sobie lekką prz= erwę, i porównać rzeszoto z klasyczną metodą ► Eratostenesa (E= ~ sito)

Czy rzeszoto ma ono jakie= ś zalety, w porównaniu z E-sitem? No cóż, nie jest to narzędzie, które miałoby z= astąpić doskonały produkt antyczny, wsparty dzisiejszą technologią krzemową, lecz – uzupełnić go. Rzeszoto można rozwijać „w górę” – bez konieczności wstępnego określania granicy poszukiwań. Co więcej R= 11; wcale nie musimy przy tym postępować zbyt skrupulatnie, i „śledzić” wszystkie powstające „kanał= y rozpadu”! Jeśli zależy nam na szybkim przejściu do liczb b. dużych, co wiąże się, oczywiście, z koniecznością użycia „L. pierwszych wysokiej g= eneracji”, a nie dbamy przy tym o zupełność (= np. pragniemy jedynie wygenerować podstawę klucza kryptograficznego) – to wybierając za każdym razem jedną tylko z możliwych wartości „okresu” n – zapewne raczej z tych większych –= w kilku zaledwie, bądź kilkunastu krokach – otrzymamy całą wielką rodzinę wielocyfrowych liczb, które w znacznym procencie będą pierwszy= mi... Na pewno ów odsetek będzie wielo~, wielokrotnie wyższy, niż w przypadku stosowanego dziś nagminnie: wyznaczania losowego,= a następnie sprawdzania kolejnych „kandydatów”!

Możemy też śledzić każdy z powstających ciągów, otrzymując po drodze wszystkie L. pierwsze<= /span>. Jednakże stopień komplikacji takiego zadania rośnie lawinowo, wraz ze wzrostem wielkości odnajdywanych liczb. Pa= miętajmy bowiem, że każda odnaleziona „liczba potencja= lnie pierwsza” (nawet gdy okaże się złoconą) staje się odźwierną<= /i>, a następnie „babcią” kolejnej, bardzo obszernej „klasy ciągów arytmetycznych”. Zaś liczba jej „kanałów rozpadu” jest określona prostym wzorem: p – 1

Oznacza to, że gałęzie naszego drzewa bezustannie wypuszczają nowe pączki (coraz więcej!), co pociąga za sobą konieczność zapisywania w pamięci komputera kolejnych wartości, umieszczania = na stosie dalszych odwołań, stale rosnące zagnieżdżen= ia pętli… Hm, od pewnego momentu robi się tego naprawdę&#= 8230; dużo! W porównaniu z rzeszotem antyczne E-= sito ma strukturę „niemal” linearną, klarowną i przejrzystą, przynajmniej jeśli chodzi= o implementację...

Jednak rzeszoto stać się powinno narzęd= ziem nieocenionym, gdy poszukujemy L. pierwszych, których cechy możemy jakoś określić „w języku zrozumiałym dla tej metody”. Jeśli wiemy, ż= ;e szukana liczba powinna dawać resztę z dzielenia przez 3 równą 1, zaś mod<= /span>(p; 37)=3D5, tudzież mamy inne, zbliżone cha= rakterem informacje o niej – to rzeszoto będzie idealnym instrumentem do = jej znalezienia!

Lecz najważniejszym zastosowaniem rzeszota jest kompletny i jednoznaczny podział liczb pierwszych na klasy, grupy, podgrupy, podklasy, pod-podgrupy… Dzięki temu możemy, zamia= st wykazywać coś dla „konkretnych” liczb pierwszych R= 11; spróbować użyć całych „gałęzi rRasz” w naszym poszukiwaniu! Decydując= 61; rolę dla takiej możliwości odgrywa fakt, że potrafimy dokonać rozkładu zupełnego i jedno= znacznego liczb pierws= zych na odpowiednie klasy. Zaś każdej klasy, na kolejne pod-klasy̷= 0; A w takich badaniach – najczęściej! – fakt, iż otrzymywane liczby mogą być (w niemal połowie wypadków) złożone – nie stanowi wielkiej przeszkody. Bowiem ważne jest tylko to, aby określone gałęzie zawierały wszystkie L.= pierwsze danej „klasy”!

Na zakończenie – jeszcze jeden ważny a= parat, związany ze stosowaniem rzeszota. Jak się okazuje – nie mus= imy drzewa L. pierwszych konstruować progresywn= ie, czyli: „zawsze od dołu do góry”. Konstrukcja „degresywna” – również (►= strona w budowie) działa. Dzięki niej możemy bardzo szybko „©raszować” każd= 1; liczbę pierwszą, na… czynniki złożone! Przykładowo – liczba pierwsza:

25 964 951 - ukaże nam, w 6 krokach obliczeniowych, następującą metrykę: Dominika =3D 2_*3_*5_*11_*221; odźwierna<= /span> =3D 1871; odleg= 22;ość od „sióstr”=3D 72930; zaś pełne równanie to b =3D 1= 871 + 356 _* (2_*3_*5_*11_*221 )

Jak to widać po ilości czynników w dominice - jest ona liczbą 5-tej generacji (wg klasyfikacji rRasz). Natomiast wszystkie jej „córki” (szósta generacja) znajdziemy posługując się wzorem:<= /p>
b =3D 25 964 951 + n _* (2_{*3_*5_*11_*221_*1871) g=
dzie
n є < 1 ; 25 964 951 - 1 > ależ ona ma liczne potomstwo,
prawda?! Za pomocą E-sita znalezienie tych
wszystkich adresów – zajęłoby nieco czasu, nawet
szybkiej maszynie, zgodzicie się chyba ze mną?}

Cały ten legion córek ma cechy charakterystyczne, podobnie jak odcinek DNA w genach krewniaków: = identyczne wartości odpowiednich reszt z dzielenia przez składowe dominiki: Ów „układ chromosomów” wygląda tak:<= span style=3D'font-size:10.0pt;font-family:Arial'>

[      =         2; &n= bsp;         3; &n= bsp;         5; &n= bsp;         11;       = 221; &n= bsp;     1871; &n= bsp; ] - odcinek „DNA” (dominika)

[      =         1; &n= bsp;         2; &n= bsp;         1; &n= bsp;         01;       = 103; &n= bsp;     1084; &n= bsp; ] - jego wartości (reszty z dzielenia)

A co można powiedzieć o tym, jakie są „cechy podzielności” sióstr przez inne L. pierwsze, których nie ma w konkretnej dominice? Absolutnie nic!! A w każdym bądź razie: nie tylko nie należy się spodziewać w tym względzie jakichkolwiek podobieństw pomiędzy „kuzynkami”, ale nawet, jak sądzę, można oczekiwać całkowitego, i jak najdalej= idącego zróżnicowania! W szczególności zaś: w niektórych wypadkach wartość „chromosomu” będzie wynosić zero, co oznacza, oczywiście, że dana li= czba jest podzielna przez pewną „boczną”, mniejszą od niej, L. pierwszą, czyli że jest ona <= b>złożona. Obiekt taki nazwałem (zobacz ►= ) L. z= łoconą. Proszę zerknąć w odsyłacz, jest tam parę zdań= o znaczeniu takich liczb.

Można też postawić pytanie: a jeśli spróbujemy konstruować szeregi, biegnące „na skos= 221; powyższej klasyfikacji, np. b =3D 11 + n _* ( 5 _*7) - to co? Nie wiem. Moż= e otrzymamy jakąś inną, odmiennego typu klasyfikację, bowiem w rzeszocie gałęzie 5-ki, i 7-ki rozchodzą się nieodwołalnie już u samych korzeni… Jestem też zdania, że drzewo rRasz ma strukturę „naturalną” – natomiast klasyfikacje inne, biegn= 1;ce „w poprzek” tej struktury – będą już w jakiś sposób „sztuczne”. Tym niemniej: zachęca= m do prób i poszukiwań!

Kontakt: R= .B.Szulc
. . . .

. . index .

. index .